三角形中位线定理

三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半。

证明

如图：

设 $M$，$N$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 的中点，则由 共边比例定理 有

(平行线与面积关系定理) 从而， $MN \px BC$。

(平行线性质定理 定理3) 于是 $\angle BNM = \angle NBC$，由 共角比例定理 ，有

或

故 $BC = 2 MN$

补充

• 由 共边比例定理 有： $S_{\triangle AMN} = \frac 1 2 S_{\triangle ABN}$ 和 $S_{\triangle BNC} = S_{\triangle ABN} = \frac 1 2 S_{\triangle ABC}$

• 由 平行线性质定理 定理3 ，有： $\angle AMN = \angle ABC$ (同位角相等)，再由 共角比例定理 ，有 $\frac {S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}} = \frac {AM \cdot MN}{AB \cdot BC}$

• 证明