平行线性质定理

定理1 垂直于同一条直线的两条直线平行。

定理2 平行线处处等距。

定理3 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。

证明：定理1

直线 $l_1 \perp l_3$，$l_2 \perp l_3$，求证： $l_1 \px l_2$.

证明 用反证法。如图：

假设 $l_1$ 与 $l_2$ 不平行，直线 $l_3$ 分别交 $l_1$，$l_2$ 于 $A$，$B$，则可过 $B$ 作与 $l_1$ 平行的直线 $l_4$，设 $P$，$Q$ 分别为 $l_2$，$l_4$ 上异于点 $B$ 的点，（平行线与直线垂直的性质定理）则 $l_3$ 与 $l_4$ 垂直，有 $\angle ABQ = 90^\circ$。而 $l_3$ 与 $l_2$ 垂直，也有 $\angle ABP = 90^\circ$。这与直线 $BP$ 与 $BQ$ 不重合矛盾，因而假设 $l_1$ 与 $l_2$ 不平行是不成立的，故 $l_1 \px l_2$。

证明：定理2

直线 $l_1 \px l_2$，$AB \perp l_1$，$AB \perp l_2$，$CD \perp l_1$，$CD \perp l_2$ ，求证： $AB = CD$.

证明 如图：

由 $l_1 \px l_2$， (由平行线与面积关系定理) 则

而 (三角形两边夹角正弦面积公式)

$ S_{\triangle ABD} = \frac 1 2 AB \cdot BD \cdot \sin 90^\circ = \frac 1 2 AB \cdot BD$

$ S_{\triangle BDC} = \frac 1 2 BD \cdot CD \cdot \sin 90^\circ = \frac 1 2 BD \cdot CD$

从而 $AB = CD$

证明：定理3

直线 $l_1 \px l_2$，而直线 $l_3$ 分别交 $l_1$，$l_2$ 于 $A$，$B$，求证：内错角相等.

证明 如图：

不防设 $l_3$ 与 $l_1$，$l_2$ 不垂直。过 $A$，$B$ 作 $l_1$，$l_2$ 的垂线，分别交 $l_2$，$l_1$ 于 $P$，$Q$，则 $PA \perp PB$，于是

由 共角比例逆定理 知， $\angle PBA$ 和 $\angle BAQ$ 相等或互补，而两者均为锐角，帮 $\angle PBA = \angle BAQ$，即内错角相等。

注 由此结论，立即可推得两条平行线被第三直线所截，同位角相等，同旁内角互补。

补充：

• 由 平行线与面积关系定理， $S_{\triangle ABQ} = S_{\triangle APQ}$
• 由 三角形两边夹角正弦面积公式，得 $S_{\triangle PAB} = \frac 1 2 PA \cdot PB \cdot \sin \angle APB = \frac 1 2 PA \cdot PB \cdot \sin 90^\circ = \frac 1 2 PA \cdot PB $，同理 $S_{\triangle APQ} = \frac 1 2 PA \cdot QA$

• 证明：定理1
• 证明：定理2
• 证明：定理3