三角形两边夹角正弦面积公式

July 13, 2018

《数学瑰宝》

作者	沈文选杨清桃编著
ISBN	978-7-5603-3012-9
CIP	（2010）第078574号
出版社	哈尔滨工业大学出版社
版次	2010年7月第1版 2018年1月第7次印刷

几何

三角形面积

对任意的 $\triangle ABC$ ，内角分别记为 $A$，$B$，$C$，它们所对的边记为 $a$，$b$，$c$，则

$S_{\triangle ABC} = \frac 1 2 bc \sin A = \frac 1 2 ac \sin B = \frac 1 2 ab \sin C$

2、证明

在共角比例定理中，取 $\angle A’ = \angle A$，$A’B’ = 1$，$A’C’ = 1$，则

$\frac {S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac {S_{\triangle ABC}}{\frac{\sin A'} 2} = \frac{bc}{1 \times 1}$

即

$S_{\triangle ABC} = \frac 1 2 bc \sin A' = \frac 1 2 bc \sin A$

同理，可证 $S_{\triangle ABC} = \frac 1 2 ac \sin B = \frac 1 2 ab \sin C$。

1、角 $\alpha$ 的正弦

顶角为 $\alpha (0^\circ < \alpha < 180^\circ)$，腰长为 1 的等腰三角形，其面积的数量记为 $S(\alpha)$ 。 $S(\alpha)$ 的 2 倍叫做 $\alpha$ 的正弦，记作 $\sin \alpha$，特别地，当 $\alpha = 90^\circ$ 时， $\sin \alpha = 1$。

补充

上面的正弦定义和我所学的正弦定义不同。不过没有关系，可以简单证明一下。

如图：，

在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 1$，$\angle BAC$ 记为 $\angle \alpha$。$BC$ 为 $a$，设点 $D$ 是 $BC$ 的中点，$AD$ 为 $h$。则：

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1$

由三角形角平分线判定定理，$AD$ 平分 $\angle BAC$。

设 $\angle BAD$ 为 $\beta$，则有 $\angle BAD = \angle CAD = \beta = \frac 1 2 \alpha $

由倍角公式

$\begin{eqnarray} \sin\alpha = \sin 2\beta &=& 2 \sin\beta \cos\beta \\ &=& 2 \frac{BD}{AB} \frac{AD}{AB} \\ &=& 2 \frac{\frac 1 2 a}{1} \frac h 1 \\ &=& ah \end{eqnarray}$

又因为三角形面积 $ S = \frac 1 2 a h $，故

$2 S(\alpha) = \sin\alpha$

2、证明
1、角 $\alpha$ 的正弦
补充

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