共角比例定理

June 25, 2018

《数学瑰宝》

作者	沈文选杨清桃编著
ISBN	978-7-5603-3012-9
CIP	（2010）第078574号
出版社	哈尔滨工业大学出版社
版次	2010年7月第1版 2018年1月第7次印刷

几何

三角形

若 $\angle ABC$ 与 $\angle A’B’C’$ 相等或互补，则有

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{AB \cdot BC}{A'B' \cdot B'C'} （或 \frac{S_{\triangle ABC}}{AB \cdot BC} = \frac{S_{\triangle A'B'C'}}{A'B' \cdot B'C'} ）$

证明

把两个三角形拼在一起，让 $\angle B$ 的两边所在直线与 $\angle B’$ 的两边所在直线重合，如图所示，

transparent&&&&

(a)	(b)

其中图(a)是两角相等的情形，图(b)是两角互补的情形，两情形下都有：

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'BC}} \cdot \frac{S_{\triangle A'BC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{AB}{A'B'} \cdot \frac{BC}{B'C'}$

共角比例定理的推广

$\angle ABC$ 与 $\angle XYZ$ 相等或互补，点 $P$ 在直线 $AB$ 上且不同于 $A$，点 $Q$ 在直线 $XY$ 上且不同于 $X$，则

$\frac{S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle QXZ}} = \frac{PA \cdot BC}{QX \cdot YZ}$

证明

不妨设 $B$，$C$，$X$，$Y$ 共线，如图，则

$\frac{S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle QXZ}} = \frac{S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle ZBC}} \cdot \frac{S_{\triangle ZBC}}{S_{\triangle ZXY}} \cdot \frac{S_{\triangle ZXY}}{S_{\triangle QXZ}} = \frac{PA}{ZB} \cdot \frac{BC}{XY} \cdot \frac{XY}{QX} = \frac{PA \cdot BC}{QX \cdot YZ}$

证明
共角比例定理的推广
- 证明

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