共角比例不等式

June 26, 2018

《数学瑰宝》

作者	沈文选杨清桃编著
ISBN	978-7-5603-3012-9
CIP	（2010）第078574号
出版社	哈尔滨工业大学出版社
版次	2010年7月第1版 2018年1月第7次印刷

几何

三角形

若 $\angle ABC$ > $\angle A’B’C’$ ，而且有两角之和小于 $180^\circ$，则

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} > \frac{AB \cdot BC}{A'B' \cdot B'C'} （或 \frac{S_{\triangle ABC}}{AB \cdot BC} > \frac{S_{\triangle A'B'C'}}{A'B' \cdot B'C'} ）$

证明

记 $\angle ABC = \alpha$ , $\angle A’B’C’ = \beta$ ，如图所示，

作一个顶角为 $\alpha - \beta$ 的等腰 $\triangle PQR$，延长 $QR$ 至 $S$，使 $\angle RPS = \beta$，则$\angle QPS = \alpha$，由共角比例定理，有

$\frac{S_{\triangle ABC}}{AB \cdot BC} = \frac{S_{\triangle QPS}}{PQ \cdot PS} > \frac{S_{\triangle RPS}}{PR \cdot PS} = \frac{S_{\triangle A'B'C'}}{A'B' \cdot B'C'}$

补充：因为是等腰三角形，所以 $PQ = PR$ ，即 $PQ\cdot PS = PR\cdot PS$

证明

声明: 本文采用 CC BY-NC-SA 3.0 协议进行授权，转载请注明出处。