平行线与直线垂直的性质定理

July 14, 2018

《数学瑰宝》

作者	沈文选杨清桃编著
ISBN	978-7-5603-3012-9
CIP	（2010）第078574号
出版社	哈尔滨工业大学出版社
版次	2010年7月第1版 2018年1月第7次印刷

几何

平行垂直

直线 $PQ \px AB$，若直线 $l$ 与 $AB$ 垂直，则 $l$ 也与 $PQ$ 垂直。

证明

如图：，

直线 $l$ 交 $AB$ 于 $M$，交 $PQ$ 于 $N$。用反证法证明该结论。

设 $\angle NMB = 90^\circ$ ，而 $\angle MNQ \neq 90^\circ$ 。过 $N$ 作 $PQ$ 的垂线交 $AB$ 于 $S$，在 $PQ$ 上取异于点 $N$ 的点 $K$ 。由 $PQ \px AB$，（和三角形两边夹角正弦面积公式、平行线与面积关系定理） 得

$\begin{eqnarray} \frac 1 2 KN \cdot SN &=& \frac 1 2 KN \cdot SN \cdot \sin 90^\circ = S_{\triangle KNS} \\ &=& S_{\triangle KNM} = \frac 1 2 KN \cdot SN \cdot \sin \angle KNM \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 1 2 SM \cdot MN &=& \frac 1 2 SM \cdot MN \cdot \sin 90^\circ = S_{\triangle SMN} \\ &=& \frac 1 2 SM \cdot SN \cdot \sin \angle NSM \end{eqnarray}$

上述两式化简，分别得到

$SN = MN \cdot \sin\angle KNM < MN \quad , \quad MN = SN \cdot \sin\angle NSM < SN$

这是两个互相矛盾的式子，从而设 $\angle MNQ \neq 90^\circ$ 是错误的，故 $ l \perp PQ$ 。

证明

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