共角比例逆定理

July 05, 2018

《数学瑰宝》

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A’B’C’$ 中，若

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{AB \cdot BC}{A'B' \cdot B'C'}$

，则 $\angle B$ 与 $\angle B’$ 相等或互补。

证明

用反证法。假设 $\angle B$ ， $\angle B’$ 不相等也不互补，不妨设 $\angle B > \angle B’$。这时有两种情形：$\angle B + \angle B’ < 180^\circ$ 或 $\angle B + \angle B’ > 180^\circ$。

若 $\angle B + \angle B’ < 180^\circ$，由共角比例不等式，得

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} > \frac{AB \cdot BC}{A'B' \cdot B'C'}$

这与题给条件矛盾。

若 $\angle B + \angle B’ > 180^\circ$，如图

transparent&&&&

延长 $AB$ 至 $D$ ，使 $BD = AB$ ，延长 $A’B’$ 至 $D’$ ，使 $B’D’ = A’B’$。这时，$\angle DBC + \angle D’B’C’ < 180^\circ$ ，

而且 $\angle DBC = 180^\circ - \angle B < 180^\circ - \angle B’ = \angle D’B’C’ $。

$\frac{S_{\triangle D'B'C'}}{S_{\triangle DBC}} > \frac{B'D' \cdot B'C'}{BD \cdot BC}$

$S_{\triangle D'B'C'} = S_{\triangle A'B'C'} , S_{\triangle DBC} = S_{\triangle ABC}$

且

$B'D' = A'B' , BD = AB$

故上述不等式，即为

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} < \frac{AB \cdot BC}{A'B' \cdot B'C'}$

这也与已知题给条件矛盾。

从而假设 $\angle B$ ， $\angle B’$ 不相等也不互补不成立。

故 $\angle B$ 与 $\angle B’$ 相等或互补。

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