三角形两边之和大于第三边定理

在 $\triangle ABC$ 中，$ AC + BC > AB $ ，$ AB + BC > AC $ ，$ AB + AC > BC $ 。

证法1

仅证第三式，设 $ AB < BC $， $AC < BC$ （因 $AB$，$AC$ 中有一边大于 BC，则结论显然成立）。

如图，

在 $BC$　上取点 $M$ ，使 $BM = BA$，（根据等腰三角形性质定理）则

而 $\angle BAC < 180^\circ = \angle BMA + \angle AMC$

从而

（根据三角形大角对大边定理）于是 $MC < AC$

故 $ AB + AC = BM + AC > BM + MC = BC $

证法2

因为大角对大边，则只要证明较小的两角对边之和大于最大角对边即可。

不妨设 $\angle A$ 不小于 $\angle B$ 和 $\angle C$，作边 $BC$ 上的高 $AD$ ，由共角比例不等式，有

即 $AB > BD$。 同理 $AC > DC$，故

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