共边比例定理

June 20, 2018

《数学瑰宝》

作者	沈文选杨清桃编著
ISBN	978-7-5603-3012-9
CIP	（2010）第078574号
出版社	哈尔滨工业大学出版社
版次	2010年7月第1版 2018年1月第7次印刷

几何

三角形

基本命题

设 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上有一点 $M$，如果有 $AM = \lambda AB$ 或 $\frac{AM}{AB} = \lambda$，则

$S_{\triangle AMC} = \lambda S_{\triangle ABC}$

或

$\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}} = \lambda = \frac {AM}{AB}$

共边比例定理

若直线 $AB$ 与直线 $PQ$ 交于 $M$ ，则

$\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac {PM}{QM}$

证明

证法1

图形有如下4种情形

transparent&&&&

(a)	(b)	(c)	(d)

由基本命题，有

$S_{\triangle PAM} = \frac{PM}{QM}S_{\triangle QAM}, \quad S_{\triangle PBM} = \frac{PM}{QM}S_{\triangle QBM}$

同上述两式相加，对于图中 (a), (b) 有

$\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{PM}{QM}$

同上述两式相减，对于图中 (c), (d) 有

$\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{PM}{QM}$

证法2

或者在直线 $AB$ 上另取一点 $N$，使 $MN = AB$ ，则

$\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{S_{\triangle PMN}}{S_{\triangle QMN}} = \frac{PM}{QM}$

证法3

或者由

$\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle PMB}} \cdot \frac{S_{\triangle PMB}}{S_{\triangle QMB}} \cdot \frac{S_{\triangle QMB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{AB}{MB} \cdot \frac{PM}{QM} \cdot \frac{MB}{AB} = \frac{PM}{QM}$

即证。

基本命题
共边比例定理
- 证明
  - 证法1
  - 证法2
  - 证法3

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