三角形角平分线性质定理

三角形的内（外）角平分线对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例。

如图：

transparent&&&&
(a)	(b)

若 $P$ 为 $\triangle ABC$ 中 $\angle A$ 在内（外）角平分线与 $BC$ 的交点，则 $\frac {AB}{AC} = \frac {BP}{CP}$。

上述定理的发现者没有留下姓名，但它确是平面几何中最重要最基本的定理之一。

证明

如图，作 $CE \px AP$ 交 $BA$（或延长线）于 $E$，则 $AC = AE$，故有

这种证明是简单的，且还有三角的、面积的、解析的各种证法等多种，有兴趣的读者可以自己证明。

补充：

对于图(a)，$AP$ 是 $\angle A$ 的内角平分线，所以 $\angle BAP = \angle PAC$，

由 $CE \px AP$ ，根据 平行线性质定理 定理3 ，有 $\angle PAC = \angle ACE$ 及 $\angle BAP = \angle AEC$ （同位角相等）

由 等腰三角形判定定理 ，有 $AC = AE$。

同理，对图(b)，有

即 $AC = AE$。

• 证明