定理 1

（角、角判定定理） 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’B’C’$ 中，若 $\angle A = \angle A’$ ，$\angle B = \angle B’$，则 $\triangle ABC \xs \triangle A’B’C’$。

证明

可由 共角比例定理，注意 $\angle C = \angle C’$，有：

从而

故

定理 2

（边、角、边判定定理） 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’B’C’$ 中，若 $\angle A = \angle A’$，且有 $\frac {AC}{A’C’} = \frac {AB}{A’B’}$，则 $\triangle ABC \xs \triangle A’B’C’$。

证明

如图

设 $\angle A$ 与 $\angle A’$ 重合，记 $\frac {AC}{A’C’} = \frac {AB}{A’B’} = k$，则由 共角比例定理（或三角形面积公式） 得

从而

即有

（平行线与面积关系定理） 于是 $BC \px B’C’$，则 （平行线性质定理-定理3-同位角相等）

故

定理 3

（边、边、边判定定理） 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’B’C’$ 中，若 $\frac {BC}{B’C’} = \frac {AC}{A’C’} = \frac {AB}{A’B’}$，则 $\triangle ABC \xs \triangle A’B’C’$。

证明

不妨设 $\frac {AB}{A’B’} = k > 1$，如图

在 $AB$ 上取点 $D$，在 $AC$ 上取点 $E$，使 $AD = A’B’$， $AE = A’C’$。由 三角形相似判定条件边、角、边 知 $\triangle ABC \xs \triangle ADE$，因而

从而 $DE = B’C’$，（三角形角全等的判定定理）于是 $\triangle A’B’C’ \qd \triangle ADE$，则有 $\angle A = \angle A’$，再用三角形相似判定条件边、角、边知 $\angle ABC \xs \angle A’B’C’$

• 定理 1
  • 证明
• 定理 2
  • 证明
• 定理 3
  • 证明