平行线唯一性定理

过直线 $AB$ 外一点，有且只有一条直线 $PQ$ 平行于 $AB$。

证明

如图 ，联结 $PB$，设 $PB$ 的中点为 $M$，联结 $AM$ 延长至 $Q$，使 $MQ = AM$，则

（根据平行线与面积关系定理）从而

这证明了过点 $P$ 可作 $AB$ 的平行线。

再证唯一性，若 $l$ 也是过点 $P$ 的另一条与 $AB$ 平行的直线，不妨设与 $BQ$ 的交点 $Q’$ 在 $B$，$Q$ 之间，这时 $ S_{\triangle Q’AB} < S_{\triangle PAB} $ （因 $S_{\triangle AQQ’} + S_{\triangle Q’AB} = S_{\triangle QAB} + S_{\triangle PAB}$），于是 $l$ 不与 $AB$ 平行。

• 证明