平行线分线段成比例定理

June 23, 2018

《数学瑰宝》

若直线 $l_1$，$l_2$，$l_3$ 满足 $l_1 \px l_2 \px l_3$，直线 $AC$，$DF$ 分别交 $l_1$，$l_2$，$l_3$ 于 $A$，$B$，$C$ 和 $D$，$E$，$F$，则

$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

证明

如图，联结 $AE$，$BD$，$BF$，$CE$，则

$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BCE}} = \frac{AB}{BC} \quad,\quad \frac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle BEF}} = \frac{DE}{EF}$

由 $l_1 \px l_2 \px l_3$，（根据平行线与面积关系定理） 有

$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle DBE} \quad,\quad S_{\triangle BCE} = S_{\triangle BEF}$

从而

$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

注：此定理的逆定理也是成立的。

上述定理有下列推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，反之亦真。

一直线束截两条平等直线，所得的对应线段成比例。

若一直线束中的直线 $PAB$，$PCD$，$PEF$ 上的点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$ 满足 $ AC \px BD$，$CE \px DF$，则$AE \px BF$。

声明: 本文采用 CC BY-NC-SA 3.0 协议进行授权，转载请注明出处。