定比分点公式

June 22, 2018

《数学瑰宝》

作者	沈文选杨清桃编著
ISBN	978-7-5603-3012-9
CIP	（2010）第078574号
出版社	哈尔滨工业大学出版社
版次	2010年7月第1版 2018年1月第7次印刷

几何

三角形

若 $P$，$Q$ 两点在直线 $AB$ 的同侧（即线段不与直线 $AB$ 相交），点 $C$ 在线段 $PQ$ 上，且 $PC = \lambda PQ$，则

$S_{\triangle ABC} = \lambda S_{\triangle QAB} + (1 - \lambda) S_{\triangle PAB}$

证明

如图，设四边形 $PABQ$ 的面积为 $S$，则由共边比例定理，有

$\frac{S_{\triangle APC}}{S - S_{\triangle QAB}} = \frac {S_{\triangle APC}}{S_{\triangle APQ}} = \frac {PC}{PQ} = \lambda$

即

$S_{\triangle APC} = \lambda(S - S_{\triangle QAB})$ $\frac{S_{\triangle BCQ}}{S - S_{\triangle PAB}} = \frac {S_{\triangle BCQ}}{S_{\triangle BPQ}} = \frac {CQ}{PQ} = \frac {PQ - PC}{PQ} = 1 - \lambda$

即

$S_{\triangle BCQ} = (1 - \lambda)(S - S_{\triangle PAB})$

从而

$\begin{eqnarray} \\ S_{\triangle ABC} &=& S - S_{\triangle APC} - S_{\triangle BCQ} \\ &=& S - \lambda(S - S_{\triangle QAB}) - (1 - \lambda)(S - S_{\triangle PAB})\\ &=& \lambda S_{\triangle QAB} + (1 - \lambda)S_{\triangle PAB}\\ \end{eqnarray}$

注

1、上述证明不能包括所有的情形，如，这时其证明就要改写成为

$\begin{eqnarray} \\ S_{\triangle ABC} &=& S - S_{\triangle ACP} + S_{\triangle BCQ} \\ &=& S - \lambda S_{\triangle PAQ} + (1 - \lambda)S_{\triangle PBQ}\\ &=& S - \lambda (S - S_{\triangle QAB}) + (1 - \lambda)(S_{\triangle PAB} - S)\\ &=& \lambda S_{\triangle QAB} + (1 - \lambda)S_{\triangle PAB}\\ \end{eqnarray}$

2、虽然题设中线段 $PQ$ 不与直线 $AB$ 相交，但有可能直线 $PQ$ 与直线 $AB$ 相交，这时不妨设直线 $PQ$ 与 $AB$ 交于点 $M$

由共边比例定理，有

$\frac{S_{\triangle PAB}}{PM} = \frac{S_{\triangle CAB}}{CM} = \frac{S_{\triangle QAB}}{QM}$

从而

$\frac{S_{\triangle CAB} - S_{\triangle PAB}}{CM - PM} = \frac{S_{\triangle QAB} - S_{\triangle CAB}}{QM - CM}$

也就是

$\frac{S_{\triangle CAB} - S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB} - S_{\triangle CAB}} = \frac{CM - PM}{QM - CM} = \frac{PC}{CQ} = \frac{\lambda}{1 - \lambda}$

即

$(1 - \lambda)(S_{\triangle PAB} - S_{\triangle CAB}) = \lambda(S_{\triangle CAB} - S_{\triangle QAB})$

解出得

$S_{\triangle CAB} = \lambda S_{\triangle QAB} + (1 - \lambda)S_{\triangle PAB}$

定比分点公式补充

若线段 $PQ$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$，点 $C$ 在线段 $PM$ 上，且 $PC = \lambda PQ$，则

$S_{\triangle ABC} = (1 - \lambda)S_{\triangle PAB} - \lambda S_{\triangle QAB}$

证明

如图，应用共边比例定理，得

$\frac{S_{\triangle PAB}}{PM} = \frac{S_{\triangle CAB}}{CM} = \frac{S_{\triangle QAB}}{QM}$

于是有

$\frac{S_{\triangle PAB} - S_{\triangle CAB}}{PM - CM} = \frac{S_{\triangle CAB} + S_{\triangle QAB}}{CM + QM}$

也就是

$\frac{S_{\triangle PAB} - S_{\triangle CAB}}{S_{\triangle CAB} + S_{\triangle QAB}} = \frac{PM - CM}{CM + QM} = \frac{PC}{CQ} = \frac{\lambda}{1 - \lambda}$

解出得

$S_{\triangle ABC} = (1 - \lambda)S_{\triangle PAB} - \lambda S_{\triangle QAB}$

证明
注
定比分点公式补充
- 证明

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