共边比例定理
基本命题
设 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上有一点 $M$，如果有 $AM = \lambda AB$ 或 $\frac{AM}{AB} = \lambda$，则
\[S_{\triangle AMC} = \lambda S_{\triangle ABC}\]或
\[\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}} = \lambda = \frac {AM}{AB}\]共边比例定理
若直线 $AB$ 与直线 $PQ$ 交于 $M$ ，则
\[\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac {PM}{QM}\]证明
证法1
图形有如下4种情形
| transparent&&&& | |||
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| (a) | (b) | (c) | (d) |
由基本命题，有
\[S_{\triangle PAM} = \frac{PM}{QM}S_{\triangle QAM}, \quad S_{\triangle PBM} = \frac{PM}{QM}S_{\triangle QBM}\]同上述两式相加，对于图中 (a), (b) 有
\[\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{PM}{QM}\]同上述两式相减，对于图中 (c), (d) 有
\[\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{PM}{QM}\]证法2
或者在直线 $AB$ 上另取一点 $N$，使 $MN = AB$ ，则
\[\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{S_{\triangle PMN}}{S_{\triangle QMN}} = \frac{PM}{QM}\]证法3
或者由
\[\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle PMB}} \cdot \frac{S_{\triangle PMB}}{S_{\triangle QMB}} \cdot \frac{S_{\triangle QMB}}{S_{\triangle QAB}} = \frac{AB}{MB} \cdot \frac{PM}{QM} \cdot \frac{MB}{AB} = \frac{PM}{QM}\]即证。
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